《音樂是怎樣算成的》：數學與音樂之間的親密關系

　　偉大的作曲家伊戈爾·斯特拉文斯基（Igor Stravinsky）曾說：“音樂這種形式和數學較為接近——也許不是和數學本身相關，但肯定與數學思維和關系式有關。”今天的文章圍繞著“弦”，講述了數學與音樂之間的親密關系。這場論戰(zhàn)對微積分之后的數學發(fā)展產生了深遠的影響，但音樂仍然是音樂，是“靈魂的語言”。本文經授權摘選自《音樂是怎樣算成的》（北京聯合出版公司）第四章，標題為編輯所加。點擊文末“原文鏈接”可購買此書。點擊“在看”并發(fā)表您的感想至留言區(qū)，截至2021年3月27日中午12點，我們會選出3條留言，每人贈書一本。

　　撰文 | Eli Maor （以色列理工學院博士）

　　譯者 | 張嶺 （中科院地質與地球物理研究所博士）

　　很久很久以前，也許是 5000 年前的某一天，一位不知名姓的獵人發(fā)現，當他撥動獵弓的弓弦時，弓弦發(fā)出的聲音具有某種特定的音高。大約 2500 年前，薩摩斯的畢達哥拉斯發(fā)現，在琴弦長度和其音高之間存在著一個定量關系，這是人們將音樂與數學聯系起來的首次嘗試。但是，要想更為全面地理解兩者之間的關系，則要等到 18 世紀，那時，將有四位偉大的數學家致力于解決這一問題——他們試圖用新近創(chuàng)立的微積分來尋找答案。

　　如果我們撥弄吉他的琴弦，或者用琴錘敲擊鋼琴的琴弦，琴弦的靜止狀態(tài)就會受到擾動，那么此時，問題的關鍵就是如何確定這條緊繃的、柔韌的琴弦的形狀。在前一種情形下，琴弦被賦予初始的位移；而在后一種情形下，琴弦被賦予的則是初始的速度。總之，這兩種情況均給出了琴弦的“初始狀態(tài)”。原則上，根據初始狀態(tài)就可以確定琴弦在未來任何時間的形狀。

　　我們撥弄琴弦的時候，會瞬間擾動其靜止狀態(tài)，琴弦會形成一個三角形，盡管這個三角形又長又矮（肉眼很難確定高度）。在我們放開琴弦的一瞬間，這種干擾會分成兩個脈沖，沿相反的方向順著琴弦傳播開來。它們傳播的速度取決于琴弦的物理參數，即撐住琴弦的張力和琴弦材料的線密度（單位長度的質量）。實際上，琴弦所起的作用相當于一個一維的波導，使信號沿著該介質傳輸。

　　如果琴弦無限長，那么這兩個脈沖將沿相反的方向永遠行進下去—當然，這里有個假設條件，即不存在遲滯運動的摩擦力。但實際上，琴弦的長度是有限的；其兩端被緊緊固定，導致兩個脈沖在兩個端點間來回運動，它們會周期性地組合成“駐波”（standing wave），即一種上下運動，而琴弦上的每一個點都參與其中。這種周期性運動只能是一種以琴弦的最低頻率，即基頻，振動的純粹的正弦波，或者是若干頻率為基頻的2、3、4、…倍的正弦波的疊加組合。這就是我們在上一章中提到的諧波，它們將琴弦分解成單個的部分，其波長分別為基本波長的1/2、1/3、1/4、…，并且每一部分的振動都彼此獨立。琴弦的實際運動則是所有這些波的總和或者疊加。

　　18世紀的數學家面臨著一個困境：如何確定琴弦被撥弄時所形成的初始三角形的形狀？該三角形有一個尖銳的頂角，它會演變成許多—也許是無數個—正弦波彼此疊加在一起，每個波的形狀都異常平滑。這個問題成了一場激烈辯論的焦點，幾乎每位數學家都不遺余力地參與其中。他們之中，有四個名字脫穎而出：丹尼爾·貝爾努利（Daniel Bernoulli， 1700-1782），萊昂哈德·歐拉，讓·勒朗·達朗貝爾（Jeanle Rond D’Alembert，1717-1783）和約瑟夫·路易·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange，1736-1813）。下面，我們先簡單介紹一下這四位主角。

　　丹尼爾·貝爾努利是一個顯赫家族的第二代，他的家族數學家和物理學家輩出。這個家族來自瑞士巴塞爾（Basel），一座安詳寧靜的大學城。經過五代的傳承，貝爾努利家族至少出過八位杰出的成員。這些家族成員之間相互競爭，彼此嫉妒，他們做出了很多的發(fā)現，也不斷卷入因這些發(fā)現而引起的諸多論戰(zhàn)之中。他們會就工作中的技術細節(jié)激烈辯論，而家族成員之間的論戰(zhàn)對此更是火上澆油。

　　丹尼爾的父親約翰［Johann，也被稱為讓（Jeanne），1667-1748］，及其兄長雅各布［Jakob，也被稱為雅克（Jacques）或者詹姆斯（James），1654—1705］是貝爾努利家族在數學領域取得非凡成就的第一代成員。老貝爾努利們充分利用新近創(chuàng)立的微積分理論，在連續(xù)介質力學的幾個領域做出了重要的貢獻，其中包括彈性力學、流體力學以及振動理論等。雅各布還撰寫了一篇關于概率理論的、具有里程碑意義的論文，即《推想的藝術》（Ars conjectandi，該書在雅各布去世后于 1713 年出版）。丹尼爾·貝爾努利繼承了父輩的事業(yè)，他在 1738 年發(fā)表的論文《流體力學》（Hydrodynamica）中提出了一個以他的姓氏命名的著名定律（即“貝爾努利定律”），為飛行理論奠定了基礎。丹尼爾和父親經常投身于相同問題的研究工作，他們分享各自的見解，但會為某些細枝末節(jié)而爭吵不休。有一次，約翰由于不得不和丹尼爾一起分享巴黎科學院（Paris Academy of Sciences）的一項殊榮而大為光火，最終將兒子永遠逐出門墻。在家族中，丹尼爾是唯一一位在數學理論及實驗物理學方面均取得不朽成就的人，而其他人的最主要成就都是成為數學家。

　　在四人當中，萊昂哈德·歐拉顯然是成果最為豐碩的一位。他的成果如此繁多，以至于盡管尚未全部出版，就已經堆積了大約 70 卷專著，涉及當時已知的所有數學和物理學領域，包括數論、力學、流體力學、天體力學，以及他所開創(chuàng)的拓撲學。以歐拉命名的定理和公式比其他任何科學家都多，其中最著名的公式有兩個。一個是方程 V - E + F = 2，數值 V 為任意簡單多面體（由平面圍成，且不存在任何孔洞的固體）的頂點數目，E 為邊的數目，F 為面的數目，該方程解釋了這三個數值之間的關系。另一個是謎一般的 eπi + 1 = 0，它將數學中最重要的五個常數融為一體。該公式中的三個符號里，有兩個，即 e 和 i，是因為歐拉才出現在數學表達式的。另外，他還引入了函數的表示方式 f（x) 。他所發(fā)表的影響力最大的專著是兩卷本的《無窮小分析引論》（Introductio in analysin infinitorum，1748），被認為是現代數學分析的奠基之作。從廣義上講，此書探討了連續(xù)性的問題。

　　歐拉出生在巴塞爾，他先師從約翰·貝爾努利，之后于 1720 年入讀巴塞爾大學，僅用了兩年便從大學畢業(yè)。1727年，歐拉移居到俄國圣彼得堡，并在那里待了 14 年。此后，他接受腓特烈大帝（Frederick the Great）的邀請加入柏林科學院 （Berlin Academy of Sciences）。但是，國王和他的這位學者相處得并不融洽，腓特烈更喜歡那種夸夸其談的人，而不是性格羞怯的歐拉。因此，1766 年，年近六旬的歐拉又回到了俄國，并在那里度過余生。晚年的歐拉厄運不斷：他先是失去了一只眼睛的視力，接著另一只眼睛也失明了；他的房子毀于火災，許多手稿都因此遺失；但他的厄運遠不止于此，5 年之后，他的妻子撒手人寰。百折不撓的歐拉再次走進婚姻的殿堂，失明也未能阻止他繼續(xù)從事研究工作。他具有強大的專注力，這使他能夠完全憑借心算進行最復雜的計算。在生活中，歐拉謙遜大度地贊揚他人的工作成果，這一特點使他與學界中的其他人迥然不同。

　　讓·勒朗·達朗貝爾是巴黎城里一位玻璃匠收養(yǎng)的私生子；這個剛落地的嬰兒是在圣·讓·勒朗教堂（Church of St. Jean-le-Rond）被人發(fā)現的，于是長大以后，他就用教堂的名字為自己命名。像同時代的大多數數學物理學家一樣，他在連續(xù)介質力學和天體力學領域涉獵廣泛。1743 年，達朗貝爾發(fā)表了《動力學》（Traité de dynamique），在該書中，他提出了一條公式化的定理（“達朗貝爾原理”），即任何處于外力影響下的動態(tài)系統(tǒng)都可被視為處于靜態(tài)平衡。達朗貝爾通過改寫牛頓的第二運動定律得到了自己的定理，將廣為人知的 F = ma 改寫成 F-ma = 0，并將該公式解釋為作用于系統(tǒng)上的所有力的總和為零。憑借該定理，達朗貝爾順利解決了當時困擾眾人的諸多問題，包括流體力學以及地球的分點歲差問題。

　　達朗貝爾曾擔任《德尼·狄德羅大百科全書》（the Great Encyclopedia of Denis Diderot）的編輯，這部作品旨在涵蓋當時人類全部的知識。但天主教會顯然對此書相當不滿，也許主要原因在于它以理性而非靈性作為要旨。所以，他最終放棄了自己的編輯身份。后來，達朗貝爾設法陸續(xù)得到了法國國王路易十五（Louis XV）、普魯士統(tǒng)治者腓特烈二世（Frederick II），以及俄國女皇葉卡捷琳娜二世（Catherine II）的青睞。從某種程度上講，達朗貝爾的性格頗為傲慢，有著強烈的自我意識，這無疑與他和當權者之間的聯系有著密切的關系。

　　約瑟夫·路易·拉格朗日伯爵是四人之中最年輕的一位；當他卷入到有關振動弦問題的論戰(zhàn)時，還是個寂寂無聞之輩。盡管他擁有法國姓名，但是在意大利都靈出生和長大的。他是家里十一個孩子中年紀最小的，也是唯一活到成年的。拉格朗日很早就展示出對數學的濃厚興趣，并在年僅 19 歲時便成為都靈皇家炮兵學校（Royal Artillery School of Turin）的教授。1766 年，他遷居德國，接替歐拉的位置成為柏林科學院的院 長。1794 年，他被任命為著名的巴黎綜合理工學院（école Polytechnique of Paris）的教授。拉格朗日的暮年備受抑郁癥困擾，還未及 50 歲，他的工作成果就直線下降。于是，他將工作重心轉移到管理事務方面。1793 年，在法國大革命之后，拉格朗日被任命為一個委員會的主席，該委員會負責向全世界推廣重量及測度的公制度量系統(tǒng)，這是法國對科學界最偉大的貢獻之一。

　　拉格朗日的主要貢獻是差分方程（differential equations），以及與離散介質和連續(xù)介質相關的力學領域。他在代數和數論方面也做出了卓越的貢獻。他對牛頓的三大運動定律做了公式重構，即用差分方程以及變分法（calculus of variations）的形式重新構建。原有運動定律的關注點是作用于系統(tǒng)的力，拉格朗日卻將焦點轉移到系統(tǒng)的能量上。拉格朗日引入了 T-U 這個量（即系統(tǒng)的動能與其勢能之間的差值），并使其成為力學的核心概念；它也因此被稱為“拉格朗日函數”（Lagrangian）。憑借這一方法，力學定律被他用一種完全通用的方式進行公式構建，而與特定坐標系的選擇無關。事實上，拉格朗日將牛頓力學變成了一個純數學的分支。他從 19 歲起就開始動手撰寫，直到 52 歲時才全部完成著作《分析力學》（Mécanique analytique，1788），這部作品在理論力學領域具有里程碑般的意義。此書的寫作方式更像一本抽象的數學專著，全篇沒有一幅插圖。

　　在 18 世紀，這四個人代表著歐洲數學界的精英，他們圍繞振動弦的問題發(fā)表了大量信件、回憶錄、論文以及演講，在學術界掀起陣陣波瀾。這幾個主角在論戰(zhàn)過程中經常變換陣營，有時候會就某些技術細節(jié)達成一致，但下一次又會相互攻訐。與現代的、更尊重事實的學術話語風格形成鮮明對比的是，他們之間的交流火藥味十足，充斥著人身攻擊和相互抬杠，讓人不由質疑這些紳士怎么會有如此多的時間和精力做這么無聊的事情。

　　第一個挑起論戰(zhàn)的是丹尼爾·貝爾努利。早在 1732 年，他就認識到琴弦具有基礎頻率，除此之外，若干其他純音的頻率為該基頻的2、3、4、…倍，它們均能通過琴弦的振動被彈奏出來；他甚至推測存在無窮多個這種純音。1740 年，他寫道：有多種方式能讓一根繃緊的琴弦發(fā)出許多同步產生的顫音，在理論上，其數量甚至可以是無窮多個……當［通過撥動］琴弦形成一個弧形時，第一個，也是最根本的模式就出現了；接下來，琴弦會呈現出最為緩慢的振動，并發(fā)出該琴弦能產生的最低沉的樂音，此音即為所有其他樂音的基礎音。另一種模式是讓該琴弦產生兩個弧形，則振蕩將加快兩倍，琴弦會發(fā)出比基礎音高出一個八度的樂音。

　　請注意，在解釋這一問題的時候，貝爾努利是如何利用音樂術語的：“琴弦”“最低沉的樂音”以及“八度”。很明顯，他的雙手和雙耳都與真實存在的琴弦親密接觸過，這種方式與歐拉以及達朗貝爾過于抽象的理論方法相比特點鮮明、大相徑庭。在他的回憶錄《關于弦振動的最新理論的思考和啟示》（Reflections and Enlightenments on the New Vibrations of Strings，1747-1748）中，貝爾努利寫道：“在我看來，只需要關注一下弦振動的本質，不必依靠任何計算，就足以推測出相關結論。而偉大的幾何學家（即達朗貝爾和歐拉）經過分析思考極其復雜和抽象的計算方法，才最終得到這一結果�！�1753年，貝爾努利重新加入戰(zhàn)團，他指出，不同的振動模式可以同時存在，并同時保持相互獨立；他由此發(fā)現了疊加原理（principle of superposition）。

　　丹尼爾·貝爾努利或許對同行們過度使用數學方法來解決這個問題頗為不屑，但是，問題的解決的確要用到數學方法。1727 年，約翰·貝爾努利（丹尼爾的父親）曾研究過振動弦的問題，他將弦看作一串珠子，即弦的振動被視為 n 個點狀物體的共同運動。這些點彼此相鄰，并通過張力與兩側的相鄰點接觸。這種對真實的弦進行近似的方法要求人們必須同時求n個常微分方程，那是一個相當煩瑣的過程。1746 年，達朗貝爾僅用一個偏微分方程對該問題進行重新表述，該方程就是從此以后為人所熟知的“一維波動方程”（one-dimensional wave equation）。他所做的就是讓 n 趨向于無窮大，則單位質量相應變小，同時相鄰質量點之間的距離趨近于零。在處理與連續(xù)介質相關的問題方面，這種從離散系統(tǒng)向連續(xù)系統(tǒng)的過渡是數學方法上的一個巨大進步。

　　達朗貝爾在發(fā)表于 1746 年的一篇論文中，發(fā)現了波動方程的解可以用兩個波來代表，它們從初始擾動開始背向傳播。這兩個波的形狀是由弦的初始狀態(tài)，即在t = 0 時，弦上每個點的位移和速度決定的，但擾動自身可能具有任意形狀。這隨即就引發(fā)了一個矛盾：彈撥琴弦的時候，琴弦最初會呈現為一個三角形，即兩條直線在一個尖點處（此處，曲線的斜率無法定義）連接在一起；而波動方程有一個最基本的假設，即琴弦的任何位置均處于光滑狀態(tài)，那么該方程的解怎么能是一個三角形呢？很快，這一矛盾便將爭論轉移到更加寬泛的話題：到底應該如何定義一個方程。方程能否包含一個尖點，即斜率會從一個值瞬間變成另一個值的點？函數的圖象是否必須連續(xù)變化？當然，方程的概念如今已經得到了清晰的闡釋，但是在 18 世紀，人們對方程的了解還很貧乏，導致相關的解釋眾說紛紜。

　　針對這一問題，貝爾努利和歐拉給出了一種不同的答案：琴弦的形狀是琴弦振動所包含的所有正弦波的總和。這就完全避免了尖角問題，也更加符合振動的物理性質：畢竟，當人們彈撥吉他時，可以聽見樂音，但并沒有看到波沿著琴弦傳播。至此，這場爭論引發(fā)了一個新的問題：達朗貝爾提出的波傳播的理論，以及貝爾努利提出的正弦波觀點，這一對截然不同的基本事實如何才能成為同一個方程的答案？此處，我們不必討論具體的技術細節(jié)，這會讓今天的讀者失去耐心；我們只需要挑出這場爭論的幾個片段：作為主編以及法國大百科全書的首席數學權威，達朗貝爾從未忘記自己的這個身份，他在《弦的振動》（Vibration of Chords，1745）一文中寫道：“大體上……我堅信我是第一個解決該問題的人；在我之后，歐拉先生給出了幾乎完全一樣的解決方法，唯一的區(qū)別就是他的法似乎更冗長一點�！必悹柵�利在一封寄給歐拉的信（1750）中寫道：“我沒法弄清達朗貝爾先生到底想說什么……除了摘要，他給不出任何一個具體的例子。依據他的觀點，一根琴弦的基本聲音［頻率］為1，而其他的聲音［頻率］分別為［基頻的］2、3、4等整數［倍］，我很好奇他如何得出這樣的結論。他在試圖模仿你，但是在他的文章中，除了他的［這種行文］風格，我找不到一點事實�！�

　　即使是一貫溫文爾雅的歐拉也逐漸失去了耐性，沒心思和達朗貝爾周旋下去。1757 年，在一封寄給法國數學家皮埃爾·莫佩爾蒂（Pierre Maupertuis）的信中，他寫道：達朗貝爾先生通過論戰(zhàn)讓我們火冒三丈……他對自己的觀點確信不疑，還炫耀在當初和［丹尼爾·］貝爾努利先生就流體力學進行的論戰(zhàn)中獲得了最終的勝利，盡管每個人都同意實驗結果站在貝爾努利先生這邊。如果達朗貝爾先生有克萊羅先生［亞歷克西斯·克萊羅（Alexis Clairaut），在差分方程方面有所貢獻的法國數學家］那樣的坦率，他就該立刻繳械投降。但就事情的發(fā)展來看，如果法國科學院公開表示會將他的觀點記錄下來，那么數學科（這一章節(jié)）在很多年內都將充斥著關于振動弦問題的爭論，而這些東西沒有絲毫意義，因此在最后的合集中最好還是將達朗貝爾先生就該話題發(fā)表的言論壓制下來。他還要求我承認從他那里剽竊了很多東西。但是，我的耐心已經耗盡了，我要讓他知道，我什么都不會做，他隨便到什么地方去發(fā)表他的東西，我才不會出面阻止。在《百科全書》里，他有足夠多的東西填滿《聲明》（Claims）那篇文章。

　　這之后，“達朗貝爾先生不再騷擾我了，我已經下定決心，無論他發(fā)表什么針對我的言論，我都不會和他兵戎相見�！�

　　表面上，達朗貝爾和其他“幾何學家”（這是他給予自己同行的稱呼）之間的分歧并不完全與學術相關。由于達朗貝爾與普魯士國王腓特烈大帝關系特殊，而且他是柏林科學院的院長，同行們或許都曾試圖與他維持良好的關系。但是，當歐拉最終與達朗貝爾決裂時，出于打擊報復，后者勸說腓特烈把身為科學院首席數學家的歐拉轟走，換上拉格朗日。

　　在論戰(zhàn)的后期，拉格朗日也加入戰(zhàn)團。盡管作為一名數學物理學家，拉格朗日的聲譽日隆，但在其他人已經得到的成果之外，他幾乎沒有任何新的進展。有時，他的數學推理難以讓人信服，特別是在那篇從離散介質談到連續(xù)介質的有關弦的論文中，他使用的邏輯漏洞百出。為掩飾這些問題，他用了大段的冗詞贅句［據數學歷史學家莫里斯·克萊恩（Morris Kline）所言，“基本空洞無物”］。但是，我們或許還是可以稍微諒解一下他，因為當時，拉格朗日的精力主要放在他的代表著作《分析力學》（Mécanique analytique，1788）上面。

　　如果就辯論的激烈程度以及主角們各具特色的鮮明性格而言，這場發(fā)生在 18 世紀的關于弦問題的論戰(zhàn)，似乎預兆著 20 世紀 20 年代那場關于“量子力學”（quantum mechanics，簡稱“QM”）本質的爭論。和關于弦的論戰(zhàn)非常類似，QM爭論的焦點是物質在亞原子層面是離散還是連續(xù)的。電子是否應該被視為一種物質粒子或者一個波——抑或兩者皆是？“波粒二象性”（wave-particle duality）讓每一個勇于鉆研的理論物理學家都深陷其中，維爾納·海森伯（Werner Heisenberg）提出了矩陣力學（matrix mechanics），與他唱對臺戲的是埃爾 溫·薛定諤（Erwin Schr?dinger）基于連續(xù)介質的“波動方程”（wave equation）［該方程的發(fā)現受到音樂的啟發(fā)，路易斯·德布羅意（Luis de Broglie）將電子圍繞原子核的運動描繪成具有不同頻率的波的組合，與小提琴的琴弦相類似，后者的形狀是琴弦振動包含的所有正弦波的總和］。

　　有意思的是，量子理論的好幾位先驅者在其大半生中都鐘愛音樂：阿爾伯特·愛因斯坦和他那把標志性的小提琴已經成為一個傳奇（很少有人知道他還彈奏鋼琴），馬克斯·普朗克和保羅·埃倫費斯特（Paul Ehrenfest）都是不錯的鋼琴家，而維爾納·海森伯最初是想投身音樂事業(yè)，之后才轉入理論物理領域。他們與這些 18 世紀的數學家形成了鮮明對比，后者喋喋不休地爭論著讓他們著迷的弦問題，大概除了歐拉，無人對音樂保持著基于藝術的終身愛好。他們演奏著或可被稱為“數學音樂”（mathematical music）的樂曲，將畢達哥拉斯學派對數值比例的癡迷帶到了一個新的高度。青年時期的歐拉，年僅 23 歲時就撰寫了一部關于音樂理論的長篇大作——《一種新的音樂理論》（Tentamen novae theoriae musicae，1730）。在文中，他嘗試依據“愉悅”的程度給不同的和弦標定某個數字尺度。這是一項雄心勃勃的工作，不過，據他的助手和未來的女婿尼古拉·菲斯（Nicolas Fuss）所言，“這篇論文造成的影響非常有限，對音樂家來說，它包含的幾何知識過于龐雜，而在幾何學家看來，它囊括的音樂知識又太過繁復�！�

　　最終，這場關于弦的偉大論戰(zhàn)并沒有完全解決引發(fā)這一討論的問題：如何用數學公式來確定以及表征振動弦的形狀？盡管四位數學家已經接近問題的答案，但是，人們不得不再等上半個世紀，直到另一位法國人給出了最終的解決方案。關于他的故事，我們將在下一章講述。

　　毫無疑問，這場論戰(zhàn)對微積分之后的數學發(fā)展產生了深遠的影響：它探索了應對連續(xù)介質問題所要使用的技術手段，而振動弦正是這類問題最簡單的范例。這場論戰(zhàn)也起到了跳板的作用，人們由此開始研究其他諸多的連續(xù)系統(tǒng)問題，從質量分布不均的琴弦到振動的梁、膜、鐘以及氣柱。簡而言之，這場論戰(zhàn)導致了人們稱之為理論聲學（theoretical acoustics）的誕生。但是，它對音樂是否產生了影響？畢達哥拉斯主義者的夢想就是將音樂置于數學的規(guī)范之下，但是音樂遵循著自己的道路，特立而獨行，盡管存在一些明顯的例外，卻對數學這位睿智伙伴的影響具有免疫力。兩者之間存在的親密關系為眾人稱道，但這種關系在很大程度上只是一廂情愿。

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